Forskningsarbejdet i matematik foregår fortsat hovedsageligt inden for områderne algebra, analyse og algebraisk topologi. Medarbejderne i matematik har næsten alle specialiseret sig inden for et af disse hovedområder. Der arbejdes i stigende grad med forskningsopgaver, der har relation til mere end én af disse discipliner, såvel som til andre områder, herunder matematikkens anvendelser inden for fysik, datalogi, genetik, økonomi, m.v. Blandt de forskningsopgaver, hvor afdelingen er særlig forskningsaktiv, kan nævnes: Algebraisk K-teori og mangfoldigheders geometri, algebraisk geometri, Lie algebraer og deres repræsentationer, kvantealgebraer, kategori-teori, homotopiteori, topologi af glatte afbildningskim, spredningsteori, konveksitetsteori, operatoralgebraer, Bose algebraer, kombinatorik, algebraisk talteori, repræsentation af Lie grupper, kodningsteori, kryptologi, invarianter af 3-dimensionale mangfoldigheder og Gauge teori.

Ligeledes forskes der inden for singularitetsteori, topologisk kvantefeltteori, modulirum, mapping-class grupper, computational biology, partielle differentialligninger med forbindelser til matematisk fysik, herunder spredningsteori, superledning, operatorteori og kvantemekanik, samt i analyse på mangfoldigheder. Desuden arbejdes med harmonisk analyse, analytisk talteori, diofantisk analyse, K-teori for operatoralgebraer og dynamiske systemer.

Forskningen i teoretisk statistik koncentrerer sig om sandsynlighedsteori og grundlagsspørgsmål for statistisk inferens. Specielt arbejdes der med stokastisk analyse, Markov processer og tilhørende potentialteori, sandsynlighedsteori i uendelig dimensionale rum, forsikringsmatematik og matematisk finansiering, simulering, asymptotisk likelihoodteori, inferens for små stikprøver og for stokastiske processer, Edgeworth - og saddelpunkts-approksimation, avancerede statistiske modeller for DNA, tidsrækkeanalyse, geometrisk sandsynlighed og stereologi, rumlig statistik, forbindelser mellem stokastik og kvantefysik, forsøgsplanlægning især med henblik på industrielle forsøg, analyse af konkrete statistiske modeller.

Ligeledes forskes der inden for stokastisk geometri og bioimaging, rum-tid modellering og statistiske metoder i bioinformatik.

Forskningen i operationsanalyse er koncentreret om optimering, optimal kontrolteori, produktionsøkonomi og finansiering. Optimeringsteorien er koncentreret om stokastisk programmering, multikriterie optimering samt kombinatoriske optimeringsproblemer. I produktionsøkonomi analyseres Markov beslutningsprocessers anvendelse til lagerstyring og til fastsættelse af priser. De centrale emner inden for finansieringsteori er prisfastsættelse af contingent claims, rentestrukturteori samt vekselvirkningen mellem finansieringsteori og forsikringsvidenskab. Endvidere analyseres modeller til anvendelse inden for energisektoren.

Center for Stokastisk Geometri og Avanceret Bioimaging (CSGB) er et VKR Center of Excellence, som er dannet med henblik på at udvikle nye computerbaserede metoder inden for stokastisk geometri og rumlig statistik til analyse af mikroskopi og andre avancerede bioimaging data. Villum Fonden har bevilget 25 mio. kr. til centret.

Der deltager fire forskergrupper i CSGB samarbejdet: The Spatial Statistics Group, Institut for Matematiske Fag, Aalborg Universitet; The Image Group, Datalogisk Institut, Københavns Universitet; Biomedical Group, Stereology and EM Research Laboratory, Aarhus Universitet; Stochastic Geometry Group, Institut for Matematiske Fag, Aarhus Universitet.

T.N. Thiele centret blev grundlagt i 2004 på basis af en større bevilling fra Carlsbergfondet, og bliver i dag støttet af Det Frie Forskningsråd | Natur og Univers. Centrets formål er at udføre grundforskning inden for matematisk statistik og sandsynlighedsteori. Forskningen bygger på et omfattende internationalt netværk og en langvarig tradition for samarbejde med andre forskergrupper ved Aarhus Universitet, herunder fysikere, biologer, geologer og økonomer.

Center for Kvantegeometri af Modulirum blev etableret i 2009 af Danmarks Grundforskningsfond (Centers of Excellence) med en bevilling på 50 mio. kr.

QGM går i dybden med matematiske modeller for kvantefeltteorier. Ambitionen er at skabe et matematisk fundament for nogle af fysikernes kvantefeltteorier – og dermed nå et skridt dybere ind i forståelsen af universet.

Helt centralt for forskernes arbejde er netop kvantegeometri, som er baseret på kvanticering ud fra geometriske metoder, og modulirum er de geometriske nøgleobjekter. Studierne af tre-dimensionelle rumformer har tilmed anvendelsesmuligheder i forhold til forskningen i proteinfoldning inden for biologi.

Danmark Grundforskningsfond bevilgede i 2006 et Niels Bohr professorat på 20 mio. kr. Professor Nicolai Reshetikhin, University of California, Berkely blev ansat i et femårigt gæsteprofessorat.

Det forskningsmæssige område ligger inden for matematik og teoretisk fysik med topologi og kvanticering af modulirum, kvante algebra og deres repræsentationer, statistisk mekanik i tilknytning til Gauge teori og streng teori, kosmologiske aspekter af strengteori sammen med relationen til kvanteinformations teori, kvanteoptik og topologisk kvantefelt teori.

Dette center har til huse på Institut for Økonomi, Det Samfundsvidenskabelige Fakultet. Institut for Matematiske Fags forskere inden for finansiering tager del i CREATES’s forskning inden for tidsrækker og finansiel økonometri.

Centret blev oprettet i 2007 af Danmarks Grundforskningsfond (Centers of Excellence) med en bevilling på 40 mio.

Lektor Simon Kristensen fik i 2010 bevilget en rammebevilling på 8,4 mio. kr ved Det Frie Forskningsråd | Natur og Univers under virkemidlet Sapere Aude – DFF Forksningsleder.

Simon Kristensen forsker i samspillet mellem analytisk talteori og dynamiske systemer. Forskningen handler specifikt om diofantisk approksimation; altså studiet af tætheden af de rationale tal i de reelle tal. Af særlig interesse for Simon Kristensen er egenskaber ved tal, der på den ene eller anden måde har en atypisk fordeling af cifre. Han undersøger blandt andet for, hvilke typer af tal en atypisk fordeling er mulig.

Undersøgelsen har tætte forbindelser med dynamiske systemer. Specielt er rotationer af cirkler og højere dimensionale tori af fundamental vigtighed, ligesom dynamiske systemer på andre flader og mangfoldigheder ofte kan benyttes som redskaber til løsningen af de oprindelige talteoretiske problemer, som for eksempel fordelingen af cifre i en given type af tal.

Professor Søren Fournais fik i 2008 bevilget et ERC Starting Grant på 750.000 euro, som senere blev suppleret af en bevilling på 2.615.000 kr. fra Lundbeck Fonden til forskning i matematiske aspekter af superledning og Bose-Einstein kondensater. Begge disse typer fysiske systemer er meget aktive forskningsfelter i både matematik og fysik. Fænomenerne opstår fordi et meget stort antal partikler besætter samme kvantemekaniske tilstand og dermed bliver kvantemekaniske effekter observerbare på en makroskopisk størrelsesorden. Fra et matematisk synspunkt motiverer disse fysiske fænomener nye problemstillinger, idet man skal udvikle nye teknikker til at håndtere samspillet mellem de mange involverede partikler. De effektive ligninger, der beskriver disse systemer, er ikke-lineære partielle differentialligninger, og analysen af disse fremviser spændende nye udfordringer.